valley-k-small
ring_deriv_k2

Ring 推导主干（K=2）

该推导报告给出了“环 + 单向长程连边”模型的解析主干：包括无缺陷传播子、缺陷修正与首达生成函数。它是后续 shortcut 与 valley 报告共用的数学基座。

书籍定位阅读路径关联报告链叙事弧线定位可核对 Claim交互图形数学逻辑公式库叙事笔记附录与资源

更新: 2026年6月9日 21:57:42 UTC

模型

模型为有限环随机游走并加入单向长程连边，采用与 lazy-reservoir 与 rewiring 两类解释兼容的统一表达。

方法

方法链从 Green 函数传播子出发，构造缺陷 resolvent 修正，再得到可数值反演的首达生成函数形式。

结论

闭式推导明确了 shortcut 不对称性的主导项，并为后续 ring 报告提供可复用公式模块。

书籍定位

该报告已纳入章节化主线。建议通过章节链接保持连续阅读，而不是把报告孤立阅读。

主章节 第0章：阅读方法与符号

同时出现于 chapter-0-reading-guidechapter-3-ring-baseline

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阅读路径

  1. 先看关键结论，确认这份报告是否与你当前问题匹配。
  2. 进入交互图面板，快速验证参数与形状敏感性。
  3. 再阅读数学逻辑链与公式库，把结论连到推导细节。

关键结论

关联报告链

该报告位于同一研究链中，可通过下方链接跳转到上游/下游和跨模型家族的关联报告。

叙事弧线定位

该报告处于一个或多个全局叙事弧线中，可按检查点保持跨页面阅读连续性。

二维与环模型机制最终汇入跨报告综合结论。

连接全部报告家族的全局叙事主线，从机制到综合结论。

检查点: 27 Claim 数: 130

展开弧线序列
  1. Lazy Ring Jump-Over 机制（K2 对 K4）
  2. Lazy Ring Shortcut beta 扫描
  3. Lazy Ring Shortcut 图1修订
  4. Lazy Ring Flux 基线机制
  5. Ring Valley 相区研究
  6. 目的地扫描与谷值调控（N=100, K=6）
  7. Ring 推导主干（K=2）
  8. 双目标 Lazy Ring 机制
  9. Ring 体系：ring_two_walker_encounter_shortcut 研究报告
  10. Grid2D 双峰基线
  11. Grid2D 全反射边界双峰
  12. Grid2D 黑板端点构型
  13. Grid2D 双目标双峰
  14. Grid2D 体系：grid2d_two_walker_encounter_shortcut 研究报告
  15. Grid2D 矩形域双峰
  16. Grid2D 体系：grid2d_membrane_near_target 研究报告
  17. Grid2D 体系：grid2d_one_target_base 研究报告
  18. Grid2D 体系：grid2d_one_target_exit_timing 研究报告
  19. Grid2D 体系：grid2d_one_target_valley_peak_budget 研究报告
  20. Grid2D 体系：grid2d_one_target_window_measures 研究报告
  21. Grid2D 体系：grid2d_one_two_target_gating 研究报告
  22. Grid2D 体系：grid2d_two_target_bias_radius 研究报告
  23. 跨模型 Luca 相区图
  24. 该研究报告：final_multitimescale_fpt_encounter 研究报告
  25. 该研究报告：exact_recursion_method_guide 研究报告
  26. 该研究报告：encounter_reflecting_diagonal_decomp 研究报告
  27. 该研究报告：encounter_reflecting_mean_validation 研究报告

可核对 Claim

下列 claim 都绑定了证据路径，便于逐条审计核对。

报告目标

闭式推导明确了 shortcut 不对称性的主导项，并为后续 ring 报告提供可复用公式模块。

核对步骤
  1. 先读关键 claim 及其证据引用。
  2. 至少核对一条公式卡与一个数据面板的来源路径。
  3. 再与上游/下游关联报告做交叉核对。

模型

model ring_deriv_k2-c1

模型为有限环随机游走并加入单向长程连边，采用与 lazy-reservoir 与 rewiring 两类解释兼容的统一表达。

证据链
  • source_document research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    模型为有限环随机游走并加入单向长程连边，采用与 lazy-reservoir 与 rewiring 两类解释兼容的统一表达。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Notation and model

关联报告 Lazy Ring Jump-Over 机制（K2 对 K4）Lazy Ring Flux 基线机制Lazy Ring Shortcut beta 扫描该研究报告：final_multitimescale_fpt_encounter 研究报告

方法

method ring_deriv_k2-c2

方法链从 Green 函数传播子出发，构造缺陷 resolvent 修正，再得到可数值反演的首达生成函数形式。

证据链
  • source_document research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    方法链从 Green 函数传播子出发，构造缺陷 resolvent 修正，再得到可数值反演的首达生成函数形式。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Notation and model

  • dataset /data/v1/reports/ring_deriv_k2/series/note_k2-probability.json

    note_k2 [tabular probability]: N -> q, p [probability]

关联报告 Grid2D 双峰基线Lazy Ring Flux 基线机制双目标 Lazy Ring 机制目的地扫描与谷值调控（N=100, K=6）

结果

result ring_deriv_k2-c3

闭式推导明确了 shortcut 不对称性的主导项，并为后续 ring 报告提供可复用公式模块。

证据链
  • source_document research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    闭式推导明确了 shortcut 不对称性的主导项，并为后续 ring 报告提供可复用公式模块。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Notation and model

  • dataset /data/v1/reports/ring_deriv_k2/series/note_k2-probability.json

    note_k2 [tabular probability]: N -> q, p [probability]

关联报告 Lazy Ring Flux 基线机制Lazy Ring Jump-Over 机制（K2 对 K4）Lazy Ring Shortcut beta 扫描Lazy Ring Shortcut 图1修订

关键结论

finding ring_deriv_k2-c4

无缺陷与缺陷修正传播子可在同一解析框架下统一表示。

证据链
  • source_document research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    无缺陷与缺陷修正传播子可在同一解析框架下统一表示。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Notation and model

  • dataset /data/v1/reports/ring_deriv_k2/series/note_k2-probability.json

    note_k2 [tabular probability]: N -> q, p [probability]

关联报告 Grid2D 双峰基线跨模型 Luca 相区图

finding ring_deriv_k2-c5

单向长程连边对首达统计的影响体现在 resolvent 级修正，而非经验拟合。

证据链
  • source_document research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    单向长程连边对首达统计的影响体现在 resolvent 级修正，而非经验拟合。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Notation and model

  • dataset /data/v1/reports/ring_deriv_k2/series/note_k2-probability.json

    note_k2 [tabular probability]: N -> q, p [probability]

关联报告 Grid2D 黑板端点构型Grid2D 双目标双峰双目标 Lazy Ring 机制Ring 体系：ring_two_walker_encounter_shortcut 研究报告

交互数据面板

图表控制
窗口=1

N q, p [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

数学逻辑链

从模型假设到解释结论，按步骤给出最短逻辑链。

分布定义

定义后续诊断所依赖的首达时间概率对象。

Pr⁡(Xt+1=n∣Xt=n′)=Bn,n′(defect-free ring),Pr⁡(Xt+1=n∣Xt=n′)=An,n′(with defect).\begin{aligned} \Pr(X_{t+1}=n\mid X_t=n') &= B_{n,n'} \qquad \text{(defect-free ring)},\\ \Pr(X_{t+1}=n\mid X_t=n') &= A_{n,n'} \qquad \text{(with defect)}. \end{aligned}

Notation and model

谱分解 / 反演步骤

提供用于计算轨迹分布的解析反演机制。

P(n,t+1)=∑n′Bn,n′P(n′,t)P(n,t+1)=\sum_{n'} B_{n,n'} P(n',t)

Notation and model

谱分解 / 反演步骤

提供用于计算轨迹分布的解析反演机制。

∑nBn,n′=∑nAn,n′=1\sum_n B_{n,n'}=\sum_n A_{n,n'}=1

Notation and model

模型约束

给出模型结构约束与参数范围。

Bn,n=1−q,Bn±1,n=q2,Bm,n=0 otherwise.B_{n,n}=1-q,\qquad B_{n\pm 1,n}=\frac{q}{2},\qquad B_{m,n}=0\text{ otherwise}.

Notation and model

模型约束

给出模型结构约束与参数范围。

Au,u=1−q−p,Au±1,u=q2,Av,u=Bv,u+p,An,u=Bn,u otherwise,A_{u,u}=1-q-p,\qquad A_{u\pm 1,u}=\frac q2,\qquad A_{v,u}=B_{v,u}+p,\qquad A_{n,u}=B_{n,u}\ \text{otherwise},

Notation and model

模型约束

给出模型结构约束与参数范围。

X‾≡B‾−A‾.\underline{X}\equiv \underline{B}-\underline{A}.

Notation and model

数学原理

当前展示 6 / 14

Notation and model CN

Pr⁡(Xt+1=n∣Xt=n′)=Bn,n′(defect-free ring),Pr⁡(Xt+1=n∣Xt=n′)=An,n′(with defect).\begin{aligned} \Pr(X_{t+1}=n\mid X_t=n') &= B_{n,n'} \qquad \text{(defect-free ring)},\\ \Pr(X_{t+1}=n\mid X_t=n') &= A_{n,n'} \qquad \text{(with defect)}. \end{aligned}
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

P(n,t+1)=∑n′Bn,n′P(n′,t)P(n,t+1)=\sum_{n'} B_{n,n'} P(n',t)
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

∑nBn,n′=∑nAn,n′=1\sum_n B_{n,n'}=\sum_n A_{n,n'}=1
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

Bn,n=1−q,Bn±1,n=q2,Bm,n=0 otherwise.B_{n,n}=1-q,\qquad B_{n\pm 1,n}=\frac{q}{2},\qquad B_{m,n}=0\text{ otherwise}.
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

Au,u=1−q−p,Au±1,u=q2,Av,u=Bv,u+p,An,u=Bn,u otherwise,A_{u,u}=1-q-p,\qquad A_{u\pm 1,u}=\frac q2,\qquad A_{v,u}=B_{v,u}+p,\qquad A_{n,u}=B_{n,u}\ \text{otherwise},
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

X‾≡B‾−A‾.\underline{X}\equiv \underline{B}-\underline{A}.
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

展开剩余公式

Notation and model CN

ηu,v≡Xv,u=Bv,u−Av,u,ηv,u≡Xu,v=Bu,v−Au,v.\eta_{u,v}\equiv X_{v,u}=B_{v,u}-A_{v,u},\qquad \eta_{v,u}\equiv X_{u,v}=B_{u,v}-A_{u,v}.
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

ηu,v=−p,ηv,u=0,\boxed{\eta_{u,v}=-p,\qquad \eta_{v,u}=0,}
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

Xu,u=Bu,u−Au,u=p=−ηu,vX_{u,u}=B_{u,u}-A_{u,u}=p=-\eta_{u,v}
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

Qn0(n,t)=Pr⁡(Xt=n∣X0=n0)Q_{n_0}(n,t)=\Pr(X_t=n\mid X_0=n_0)
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

Sn0(n,t)=Pr⁡(Xt=n∣X0=n0)S_{n_0}(n,t)=\Pr(X_t=n\mid X_0=n_0)
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

Q~n0(n,z)=∑t≥0Qn0(n,t)zt\tilde Q_{n_0}(n,z)=\sum_{t\ge 0} Q_{n_0}(n,t)z^t
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

d(a,b)≡min⁡(∣a−b∣,  N−∣a−b∣)∈{0,1,…,⌊N2⌋}.d(a,b)\equiv \min\bigl(|a-b|,\;N-|a-b|\bigr)\in\Bigl\{0,1,\dots,\Bigl\lfloor \frac N2\Bigr\rfloor\Bigr\}.
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Notation and model CN

Tn(x)=cos⁡ ⁣(narccos⁡x),Un(x)=sin⁡ ⁣((n+1)arccos⁡x)sin⁡(arccos⁡x).\T_n(x)=\cos\!\bigl(n\arccos x\bigr),\qquad \U_n(x)=\frac{\sin\!\bigl((n+1)\arccos x\bigr)}{\sin(\arccos x)}.
公式来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

叙事章节

优先展示清洗后的章节摘要，低信息量占位段落已隐藏。

Notation and model

Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Numerical validation (double precision)

Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Part 3 --- First-passage time (FPT) generating function

Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

来源

research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

复现实验命令

展开命令列表
  • python3 scripts/reportctl.py build --report ring_deriv_k2 --lang en
  • python3 scripts/reportctl.py translation-qc
  • python3 scripts/reportctl.py web-build --mode changed --skip-npm-ci

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