valley-k-small
Ring 基线

第3章：Ring 家族基线

建立 lazy 与 non-lazy 的 ring 双基线，再统一反演主线与 shortcut 变体前的参照行为。

阅读时长 12 min 关联报告 4 交互图段 4

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章节导读

环模型提供了紧凑环境，可分离漂移、停留概率与谱结构的作用。

本章先对齐 lazy 与 non-lazy 对照基线，再讨论 shortcut 扰动，避免机制归因混淆。

后续章节都会把这里的结果作为对照组。

承接第2章：我们保留 Grid2D 的边界敏感诊断，但将几何切换到环结构，以单独识别 shortcut 与 lazy 机制。

叙事主线

本章首先固定模型前提：模型采用 lazy ring 与单向 shortcut 的基线构型，在统一参数设定下比较 K=2 与 K=4 的邻接效应。

随后给出可复核的方法链路：方法链路结合 AW 反演、MC 全路径模拟与 Fig.3 峰谷判据，并对 K=2 使用两步粗粒化处理奇偶微峰。

在统一判据下得到的结果与发现是：在扫描的偶数 N 范围内，K=2 维持单峰；K=4/6/8 则出现可复现的双峰区间，并在精确解与 MC 诊断中一致。 单向长程连边对首达统计的影响体现在 resolvent 级修正，而非经验拟合。

从《第3章：Ring 家族基线》延续符号与已核对 claim 进入《第4章：Shortcut 变体机制》，在不重置假设的前提下扩展机制与证据。

概念卡片

AW 反演

从生成函数做离散 Cauchy / FFT 反演。

关联报告 11

首达时间分布

在主要报告族中反复出现的 PMF/CDF/生存函数核心量。

关联报告 26

beta/shortcut 扫描

shortcut 强度变化对双峰与相图的影响。

关联报告 13

生存函数与风险率

用于连接 f(t)、S(t) 与风险率诊断的定义。

关联报告 14

风险率解释

通过风险率动态解释峰谷结构。

关联报告 12

谱分解

基于特征值与 resolvent 的推导框架。

关联报告 3

理论链

Distribution Setup ring_deriv_k2

Ring 推导主干（K=2） · 分布定义

定义后续诊断所依赖的首达时间概率对象。

Pr⁡(Xt+1=n∣Xt=n′)=Bn,n′(defect-free ring),Pr⁡(Xt+1=n∣Xt=n′)=An,n′(with defect).\begin{aligned} \Pr(X_{t+1}=n\mid X_t=n') &= B_{n,n'} \qquad \text{(defect-free ring)},\\ \Pr(X_{t+1}=n\mid X_t=n') &= A_{n,n'} \qquad \text{(with defect)}. \end{aligned}

Spectral / Inversion Step ring_deriv_k2

Ring 推导主干（K=2） · 谱分解 / 反演步骤

提供用于计算轨迹分布的解析反演机制。

P(n,t+1)=∑n′Bn,n′P(n′,t)P(n,t+1)=\sum_{n'} B_{n,n'} P(n',t)

Derivation Link ring_lazy_flux

Lazy Ring Flux 基线机制 · 推导连接

方法链路为：解析推导生成函数，使用 AW/FFT 反演得到首达 pmf，再用 flux 递推进行独立数值核验。

target=⌊N/2⌋\text{target}=\lfloor N/2\rfloor

Derivation Link ring_lazy_flux

Lazy Ring Flux 基线机制 · 推导连接

方法链路为：解析推导生成函数，使用 AW/FFT 反演得到首达 pmf，再用 flux 递推进行独立数值核验。

v=target+1v=\text{target}+1

Distribution Setup ring_lazy_jump

Lazy Ring Jump-Over 机制（K2 对 K4） · 分布定义

定义后续诊断所依赖的首达时间概率对象。

f(t)=Pr⁡[T=t],S(t)=Pr⁡[T>t],h(t)=f(t)S(t−1)f(t)=\Pr[T=t],\quad S(t)=\Pr[T>t],\quad h(t)=\frac{f(t)}{S(t-1)}

Derivation Link ring_valley

Ring Valley 相区研究 · 推导连接

方法链路结合 AW 反演、MC 全路径模拟与 Fig.3 峰谷判据，并对 K=2 使用两步粗粒化处理奇偶微峰。

direct:T<tvalley−Δ,valley:∣T−tvalley∣≤Δ,intermediate:tvalley+Δ<T≤t2+Δ,indirect:T>t2+Δ.\begin{aligned} \text{direct:}\quad & T < t_{\text{valley}}-\Delta,\\ \text{valley:}\quad & |T-t_{\text{valley}}|\le \Delta,\\ \text{intermediate:}\quad & t_{\text{valley}}+\Delta < T \le t_{2}+\Delta,\\ \text{indirect:}\quad & T > t_{2}+\Delta. \end{aligned}

Derivation Link ring_valley

Ring Valley 相区研究 · 推导连接

方法链路结合 AW 反演、MC 全路径模拟与 Fig.3 峰谷判据，并对 K=2 使用两步粗粒化处理奇偶微峰。

Pi→j=1K1[j∈NK(i)]+1[i=6](1K+11 ⁣[j=N2+1]−1K(K+1)1[j∈NK(6)])P_{i\to j}=\frac{1}{K}\mathbf{1}[j\in\mathcal{N}_K(i)]+\mathbf{1}[i=6]\left(\frac{1}{K+1}\mathbf{1}\!\left[j=\frac{N}{2}+1\right]-\frac{1}{K(K+1)}\mathbf{1}[j\in\mathcal{N}_K(6)]\right)

交互证据面板

Ring 推导主干（K=2） · note_k2 [tabular probability]

优先比较主峰与次峰的相对高度，并调节平滑窗口检验谷值是否稳定。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

N q, p [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

Lazy Ring Flux 基线机制 · lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn [tabular metric]

切换曲线并微调平滑窗口，观察参数变化如何重排快通道与延迟通道贡献。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

N v [metric]

加载图表数据中…

来源: research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

Lazy Ring Jump-Over 机制（K2 对 K4） · scan_N_K4_beta002 [probability]

优先比较主峰与次峰的相对高度，并调节平滑窗口检验谷值是否稳定。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

N q [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/data/scan_N_K4_beta002.csv

Ring Valley 相区研究 · bimodality_scan

切换曲线并微调平滑窗口，观察参数变化如何重排快通道与延迟通道贡献。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

n bimodal

加载图表数据中…

来源: research/reports/ring_valley/artifacts/data/bimodality_scan.json

证据链路

本章按统一叙事组织；底层报告仅作为可核对的证据节点保留。

展开证据节点索引
  • Ring 推导主干（K=2） (闭式推导明确了 shortcut 不对称性的主导项，并为后续 ring 报告提供可复用公式模块。)
  • Lazy Ring Flux 基线机制 (自环分流且小 p 条件下可形成稳定双峰（最小 N=10 例）；equal4 或 shortcut 强度增大时，分布向单峰收敛。)
  • Lazy Ring Jump-Over 机制（K2 对 K4） (双峰只在部分 shortcut 强度区间稳定出现；在几何与停留规则对齐时，K=4 往往比 K=2 保持更强的第二峰。)
  • Ring Valley 相区研究 (在扫描的偶数 N 范围内，K=2 维持单峰；K=4/6/8 则出现可复现的双峰区间，并在精确解与 MC 诊断中一致。)

Claim 台账

finding ring_deriv_k2-c5 ring_deriv_k2

单向长程连边对首达统计的影响体现在 resolvent 级修正，而非经验拟合。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    单向长程连边对首达统计的影响体现在 resolvent 级修正，而非经验拟合。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • section_summary research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_deriv_k2/manuscript/extras/note_k2.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/ring_deriv_k2/series/note_k2-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

finding ring_lazy_flux-c5 ring_lazy_flux

AW 反演与 flux 递推在数值精度内一致，验证了理论与实现的正确性。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    AW 反演与 flux 递推在数值精度内一致，验证了理论与实现的正确性。

  • section_summary research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/ring_lazy_flux/series/lazy_k2_equal4_paper_geometry_summary_cn-binary.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

model ring_lazy_jump-c1 ring_lazy_jump

模型采用 lazy ring 与单向 shortcut 的基线构型，在统一参数设定下比较 K=2 与 K=4 的邻接效应。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/tables/beta_scan_N100_K2.tex

    模型采用 lazy ring 与单向 shortcut 的基线构型，在统一参数设定下比较 K=2 与 K=4 的邻接效应。

  • section_summary research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/tables/beta_scan_N100_K2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/tables/beta_scan_N100_K2.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

method ring_valley-c2 ring_valley

方法链路结合 AW 反演、MC 全路径模拟与 Fig.3 峰谷判据，并对 K=2 使用两步粗粒化处理奇偶微峰。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    方法链路结合 AW 反演、MC 全路径模拟与 Fig.3 峰谷判据，并对 K=2 使用两步粗粒化处理奇偶微峰。

  • section_summary research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • section_summary research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • math_block research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/ring_valley/series/bimodality_scan.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

method ring_lazy_jump-c2 ring_lazy_jump

方法结合 AW 精确反演与轨迹分解，将 jump-over、直达与延迟通道分离并进行量化。

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  • source_document research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/tables/beta_scan_N100_K2.tex

    方法结合 AW 精确反演与轨迹分解，将 jump-over、直达与延迟通道分离并进行量化。

  • section_summary research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/tables/beta_scan_N100_K2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/tables/beta_scan_N100_K2.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/ring_lazy_jump/series/scan_n_k4_beta002-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

model ring_valley-c1 ring_valley

模型采用均匀 K 邻接跳转与单向 shortcut，吸收目标置于 N/2，并保持与论文图示一致的索引与几何构型。

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  • source_document research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    模型采用均匀 K 邻接跳转与单向 shortcut，吸收目标置于 N/2，并保持与论文图示一致的索引与几何构型。

  • section_summary research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    Model and graph construction (one-way shortcut): 模型采用均匀 K 邻接跳转与单向 shortcut，吸收目标置于 N/2，并保持与论文图示一致的索引与几何构型。

  • section_summary research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • math_block research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

result ring_valley-c3 ring_valley

在扫描的偶数 N 范围内，K=2 维持单峰；K=4/6/8 则出现可复现的双峰区间，并在精确解与 MC 诊断中一致。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    在扫描的偶数 N 范围内，K=2 维持单峰；K=4/6/8 则出现可复现的双峰区间，并在精确解与 MC 诊断中一致。

  • section_summary research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • section_summary research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_valley/manuscript/ring_valley_en.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/ring_valley/series/bimodality_scan.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

result ring_lazy_jump-c3 ring_lazy_jump

双峰只在部分 shortcut 强度区间稳定出现；在几何与停留规则对齐时，K=4 往往比 K=2 保持更强的第二峰。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/tables/beta_scan_N100_K2.tex

    双峰只在部分 shortcut 强度区间稳定出现；在几何与停留规则对齐时，K=4 往往比 K=2 保持更强的第二峰。

  • section_summary research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/tables/beta_scan_N100_K2.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_lazy_jump/artifacts/tables/beta_scan_N100_K2.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/ring_lazy_jump/series/scan_n_k4_beta002-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

章节总结

建立 lazy 与 non-lazy 的 ring 双基线，再统一反演主线与 shortcut 变体前的参照行为。

展开章节术语链接
  • AW 反演: 从生成函数到时域首达量的离散 Cauchy/FFT 反演过程。
  • beta 扫描: 对 shortcut 强度 β 的参数扫描，用于识别相位转折与分区边界。
  • 双峰判据: 区分真实双峰与噪声肩部的可操作判据。
  • Claim 台账: 将陈述映射到证据路径与跨报告链接的结构化台账。
  • equal4 基线: 用于比较 shortcut 影响的四向等概率基线。
  • 首达时间（FPT）: 轨迹首次到达吸收目标所需的随机时间。
  • 风险率（hazard）: 在已存活到 t 的条件下，于 t 步发生首达的条件概率。
  • renormalize 机制: 注入 shortcut 后，对基准转移权重重标以保持归一化约束。
  • selfloop 机制: shortcut 概率质量从停留概率中分配，不重标其余移动概率。
  • 生存函数: 到步长 t 为止尚未首达的概率。
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