valley-k-small
Grid2D 家族

第2章：Grid2D 家族

从周期基线到反射边界与双目标变体，系统比较哪些结构保持或破坏双峰。

阅读时长 13 min 关联报告 5 交互图段 5

← 上一章返回目录下一章 →

章节导读

Grid2D 报告在本章被串成连续推进：基线、几何约束、反射边界、双目标耦合。

重点是区分稳定机制与对边界/几何敏感的机制。

每个小节都回链到统一 claim 台账，避免反复翻阅 PDF 才能核对结论。

承接第1章：在统一 FPT 诊断语言下，本章检验 Grid2D 中哪些几何约束会保持或破坏双峰结构。

叙事主线

本章首先固定模型前提：模型保持反射边界格点动力学，重点考察走廊受限明显的墙端点几何。

随后给出可复核的方法链路：各案例在统一 PMF/hazard 诊断口径下评估，并通过通道分解与时窗比较进行机制判别。

在统一判据下得到的结果与发现是：在已扫描的端点案例中，主导行为为单峰加长尾；晚时隆起被判定为窗口边缘效应，而非稳健双峰。 走廊与偏置参数可在不改目标定义的前提下放大延迟通道贡献。

桥接说明：延续 Grid2D 的 hazard/survival 诊断，但将几何切换到环模型，以隔离 shortcut 与 lazy 参数并排除边界形状混杂。

概念卡片

首达时间分布

在主要报告族中反复出现的 PMF/CDF/生存函数核心量。

关联报告 26

生存函数与风险率

用于连接 f(t)、S(t) 与风险率诊断的定义。

关联报告 14

风险率解释

通过风险率动态解释峰谷结构。

关联报告 12

beta/shortcut 扫描

shortcut 强度变化对双峰与相图的影响。

关联报告 13

AW 反演

从生成函数做离散 Cauchy / FFT 反演。

关联报告 11

谱分解

基于特征值与 resolvent 的推导框架。

关联报告 3

理论链

Derivation Link grid2d_bimodality

Grid2D 双峰基线 · 推导连接

方法将无缺陷/缺陷修正传播子连接到生成函数反演，再通过参数扫描与通道诊断验证候选相区。

(gx,gy,δ)=(−0.25,0.40,0.70)(g_x,g_y,\delta)=(-0.25,0.40,0.70)

Derivation Link grid2d_bimodality

Grid2D 双峰基线 · 推导连接

方法将无缺陷/缺陷修正传播子连接到生成函数反演，再通过参数扫描与通道诊断验证候选相区。

pleft=q4(1+gx),pright=q4(1−gx),pdown=q4(1+gy),pup=q4(1−gy),pstay=1−q.\begin{aligned} p_{\text{left}} &= \frac{q}{4}(1+g_x),\quad p_{\text{right}} = \frac{q}{4}(1-g_x),\\ p_{\text{down}} &= \frac{q}{4}(1+g_y),\quad p_{\text{up}} = \frac{q}{4}(1-g_y),\\ p_{\text{stay}} &= 1-q. \end{aligned}

Derivation Link grid2d_blackboard_bimodality

Grid2D 黑板端点构型 · 推导连接

流程包括黑板案例构建、截图式扫描与通道/路径分解诊断，并沿用统一 FPT 判据。

gy=−0.2, δopen=0.6g_y=-0.2,\ \delta_{\text{open}}=0.6

Derivation Link grid2d_blackboard_bimodality

Grid2D 黑板端点构型 · 推导连接

流程包括黑板案例构建、截图式扫描与通道/路径分解诊断，并沿用统一 FPT 判据。

pleft=q4(1+gx),pright=q4(1−gx),pdown=q4(1+gy),pup=q4(1−gy),pstay=1−q.\begin{aligned} p_{\text{left}} &= \frac{q}{4}(1+g_x),\quad p_{\text{right}} = \frac{q}{4}(1-g_x),\\ p_{\text{down}} &= \frac{q}{4}(1+g_y),\quad p_{\text{up}} = \frac{q}{4}(1-g_y),\\ p_{\text{stay}} &= 1-q. \end{aligned}

Distribution Setup grid2d_rect_bimodality

Grid2D 矩形域双峰 · 分布定义

定义后续诊断所依赖的首达时间概率对象。

f(t)=Pr⁡[T=t],S(t)=Pr⁡[T>t],h(t)=f(t)S(t−1)f(t)=\Pr[T=t],\quad S(t)=\Pr[T>t],\quad h(t)=\frac{f(t)}{S(t-1)}

Derivation Link grid2d_reflecting_bimodality

Grid2D 全反射边界双峰 · 推导连接

各案例在统一 PMF/hazard 诊断口径下评估，并通过通道分解与时窗比较进行机制判别。

pleft=q4(1+gx),pright=q4(1−gx),pdown=q4(1+gy),pup=q4(1−gy),pstay=1−q.\begin{aligned} p_{\text{left}} &= \frac{q}{4}(1+g_x),\quad p_{\text{right}} = \frac{q}{4}(1-g_x),\\ p_{\text{down}} &= \frac{q}{4}(1+g_y),\quad p_{\text{up}} = \frac{q}{4}(1-g_y),\\ p_{\text{stay}} &= 1-q. \end{aligned}

Derivation Link grid2d_reflecting_bimodality

Grid2D 全反射边界双峰 · 推导连接

各案例在统一 PMF/hazard 诊断口径下评估，并通过通道分解与时窗比较进行机制判别。

Δ=δpstay\Delta=\delta p_{\text{stay}}

Distribution Setup grid2d_two_target_double_peak

Grid2D 双目标双峰 · 分布定义

定义后续诊断所依赖的首达时间概率对象。

f(t)=Pr⁡[T=t],S(t)=Pr⁡[T>t],h(t)=f(t)S(t−1)f(t)=\Pr[T=t],\quad S(t)=\Pr[T>t],\quad h(t)=\frac{f(t)}{S(t-1)}

交互证据面板

Grid2D 双峰基线 · scan_candidate_B_corridor [probability]

优先比较主峰与次峰的相对高度，并调节平滑窗口检验谷值是否稳定。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

l mass [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/grid2d_bimodality/artifacts/data/scan_candidate_B_corridor.json

Grid2D 黑板端点构型 · Z_scan [probability]

优先比较主峰与次峰的相对高度，并调节平滑窗口检验谷值是否稳定。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

absorption delta_core, delta_open [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/artifacts/data/Z_scan.json

Grid2D 矩形域双峰 · ot_scan_bias2d

切换曲线并微调平滑窗口，观察参数变化如何重排快通道与延迟通道贡献。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

bx_values by_values

加载图表数据中…

来源: research/reports/grid2d_rect_bimodality/artifacts/data/ot_scan_bias2d.json

Grid2D 全反射边界双峰 · cases_reflecting_summary [probability]

优先比较主峰与次峰的相对高度，并调节平滑窗口检验谷值是否稳定。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

gx q [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/code/config/cases_reflecting_summary.json

Grid2D 双目标双峰 · method_comparison_c1 [probability]

优先比较主峰与次峰的相对高度，并调节平滑窗口检验谷值是否稳定。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

mfpt_truncation_scan_t_max mfpt_truncation_scan_mass_any [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/data/method_comparison_c1.json

证据链路

本章按统一叙事组织；底层报告仅作为可核对的证据节点保留。

展开证据节点索引
  • Grid2D 双峰基线 (当快通道与延迟绕行通道在同一判据下都具有可观权重时，首达分布出现稳健双峰。)
  • Grid2D 黑板端点构型 (在已扫描的端点案例中，主导行为为单峰加长尾；晚时隆起被判定为窗口边缘效应，而非稳健双峰。)
  • Grid2D 矩形域双峰 (长宽比与端点排布会改变直达/绕行通道权重平衡；稳健双峰只在特定矩形几何带中保持。)
  • Grid2D 全反射边界双峰 (部分反射案例保留了清晰的早/晚通道分离；另一些在几何瓶颈下退化为长尾单峰。)
  • Grid2D 双目标双峰 (当近目标直达通道与远目标延迟通道都占有显著质量时，会出现稳定双峰；其相界随耦合强度呈可预测移动。)

Claim 台账

finding grid2d_bimodality-c5 grid2d_bimodality

走廊与偏置参数可在不改目标定义的前提下放大延迟通道贡献。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    走廊与偏置参数可在不改目标定义的前提下放大延迟通道贡献。

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    候选 A （周期边界 + 全局偏置）：FPT 在统一双峰判据下呈现双峰；快/慢通道由 "逆漂移短路" 与 "顺漂移绕行" 叠加产生；AW 反演与 exact recursion 在 内一致，MC 叠加吻合（图 、 ）

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    图 给出统一符号语法：红色方块为起点、蓝色菱形为目标；粗实线为反射墙、虚线为门（标注 p pass ）、半透明阴影为 sticky 区；红色小箭头为 local bias；图外大箭头给出全局偏置方向与 (g x,g y) 数值

  • math_block research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    结论与关键图示

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_bimodality/series/scan_candidate_b_corridor-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

result grid2d_blackboard_bimodality-c3 grid2d_blackboard_bimodality

在已扫描的端点案例中，主导行为为单峰加长尾；晚时隆起被判定为窗口边缘效应，而非稳健双峰。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    在已扫描的端点案例中，主导行为为单峰加长尾；晚时隆起被判定为窗口边缘效应，而非稳健双峰。

  • section_summary research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    t_p2 为 late-window 最大值（非真实第二峰）。

  • section_summary research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    起止点位于内墙段上下端点： S=(30,45)， T=(30,15)，其余结构与 "两墙 + 走廊箭头" 基线一致。 未出现双峰： t_p1 102，valley ratio =1，仅见单峰 + 长尾；

  • math_block research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    数值扫描与尝试（基于配置 Z）

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_blackboard_bimodality/series/z_scan-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

result grid2d_rect_bimodality-c3 grid2d_rect_bimodality

长宽比与端点排布会改变直达/绕行通道权重平衡；稳健双峰只在特定矩形几何带中保持。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_rect_bimodality/artifacts/tables/ot_anchor_selection.tex

    长宽比与端点排布会改变直达/绕行通道权重平衡；稳健双峰只在特定矩形几何带中保持。

  • section_summary research/reports/grid2d_rect_bimodality/artifacts/tables/ot_anchor_selection.tex

    Grid2D 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/grid2d_rect_bimodality/artifacts/tables/ot_anchor_selection.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_rect_bimodality/series/ot_scan_bias2d.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

result grid2d_reflecting_bimodality-c3 grid2d_reflecting_bimodality

部分反射案例保留了清晰的早/晚通道分离；另一些在几何瓶颈下退化为长尾单峰。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    部分反射案例保留了清晰的早/晚通道分离；另一些在几何瓶颈下退化为长尾单峰。

  • section_summary research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    全反射边界下仍可稳定形成双峰：正文保留八类代表构造 R1（几何绕行）、R7（半透膜孔道 + 绕行）、C3（主动运输轨道）、R6（door 阵列）、NB4（外边界“传送带”模板）、NB5（传送带 + 全局偏置）、S1/S2（无内部 barrier/door 的软通道双轨），均在全反射外边界下产生清晰双

  • section_summary research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    双峰指标汇总: 部分反射案例保留了清晰的早/晚通道分离；另一些在几何瓶颈下退化为长尾单峰。

  • math_block research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    模型定义与坐标约定

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_reflecting_bimodality/series/cases_reflecting_summary-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

finding grid2d_two_target_double_peak-c5 grid2d_two_target_double_peak

双目标竞争为多时间尺度首达行为提供了可控机制。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    双目标竞争为多时间尺度首达行为提供了可控机制。

  • section_summary research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    Grid2D 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_two_target_double_peak/series/method_comparison_c1-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

model grid2d_blackboard_bimodality-c1 grid2d_blackboard_bimodality

模型保持反射边界格点动力学，重点考察走廊受限明显的墙端点几何。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    模型保持反射边界格点动力学，重点考察走廊受限明显的墙端点几何。

  • section_summary research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    本文采用 " y 轴向下为正" 的坐标约定，因此 g y>0 表示向下偏置； g x>0 表示向左偏置。外边界与内部墙均为 全反射：越界或穿墙尝试的概率质量加回 p stay。

  • section_summary research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    首达时间为 将目标点视为吸收态，其余为 transient，令 Q 为 transient 子矩阵， r 为一步进入吸收态的流出向量，则 等价递推为 p t+1 =Qp t, f(t)=r^->p p t。本文以 exact recursion 为基准，AW 反演与 MC 作为对照与通道统计。

  • math_block research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    数值扫描与尝试（基于配置 Z）

method grid2d_reflecting_bimodality-c2 grid2d_reflecting_bimodality

各案例在统一 PMF/hazard 诊断口径下评估，并通过通道分解与时窗比较进行机制判别。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    各案例在统一 PMF/hazard 诊断口径下评估，并通过通道分解与时窗比较进行机制判别。

  • section_summary research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    定义与直观 设首达时间（first-passage time）为 其 PMF 为 f(t)=，CDF 为 F(t)= (t)，生存概率为 直观上， f(t) 描述“恰好在第 t 步首次抵达目标”的概率，因此图中的双峰就是 f(t) 在早期与晚期各有一个显著局部极大值

  • section_summary research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    本节给出统一推导链条： 无缺陷 propagator -> 有缺陷 propagator -> FPT 生成函数 -> AW 反演。本文构造均可落在同一框架内。 矩阵形式与生成函数 设无吸收系统的转移矩阵为 A，约定 A v,u =，因此列和为 1，且 p t+1 =A p t

  • math_block research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    模型定义与坐标约定

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_reflecting_bimodality/series/cases_reflecting_summary-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

method grid2d_blackboard_bimodality-c2 grid2d_blackboard_bimodality

流程包括黑板案例构建、截图式扫描与通道/路径分解诊断，并沿用统一 FPT 判据。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    流程包括黑板案例构建、截图式扫描与通道/路径分解诊断，并沿用统一 FPT 判据。

  • section_summary research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    数据与复现: 流程包括黑板案例构建、截图式扫描与通道/路径分解诊断，并沿用统一 FPT 判据。

  • section_summary research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    参数表: 流程包括黑板案例构建、截图式扫描与通道/路径分解诊断，并沿用统一 FPT 判据。

  • math_block research/reports/grid2d_blackboard_bimodality/manuscript/grid2d_blackboard_bimodality_cn.tex

    数值扫描与尝试（基于配置 Z）

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_blackboard_bimodality/series/z_scan-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

method grid2d_rect_bimodality-c2 grid2d_rect_bimodality

在固定首达诊断口径下扫描几何与偏置参数，再比较不同矩形构型中的路径类别组成。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_rect_bimodality/artifacts/tables/ot_anchor_selection.tex

    在固定首达诊断口径下扫描几何与偏置参数，再比较不同矩形构型中的路径类别组成。

  • section_summary research/reports/grid2d_rect_bimodality/artifacts/tables/ot_anchor_selection.tex

    Grid2D 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/grid2d_rect_bimodality/artifacts/tables/ot_anchor_selection.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_rect_bimodality/series/ot_scan_bias2d.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

model grid2d_reflecting_bimodality-c1 grid2d_reflecting_bimodality

模型保持反射二维格点与吸收目标，并引入可控局部结构（绕行、孔道、轨道）。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    模型保持反射二维格点与吸收目标，并引入可控局部结构（绕行、孔道、轨道）。

  • section_summary research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    本文采用 " y 轴向下为正" 的坐标约定，因此 g y>0 表示向下偏置。本文仅使用 全反射边界：越界概率全部加回 p stay。 由式(1)可见 g x>0 会增大 p left 并减小 p right，因此本文约定 g x>0 表示 向左 全局偏置（ g x<0 表示向右偏置）

  • section_summary research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    定义与直观 设首达时间（first-passage time）为 其 PMF 为 f(t)=，CDF 为 F(t)= (t)，生存概率为 直观上， f(t) 描述“恰好在第 t 步首次抵达目标”的概率，因此图中的双峰就是 f(t) 在早期与晚期各有一个显著局部极大值

  • math_block research/reports/grid2d_reflecting_bimodality/manuscript/grid2d_reflecting_bimodality_cn.tex

    模型定义与坐标约定

章节总结

从周期基线到反射边界与双目标变体，系统比较哪些结构保持或破坏双峰。

展开章节术语链接
  • AW 反演: 从生成函数到时域首达量的离散 Cauchy/FFT 反演过程。
  • beta 扫描: 对 shortcut 强度 β 的参数扫描，用于识别相位转折与分区边界。
  • 双峰判据: 区分真实双峰与噪声肩部的可操作判据。
  • Claim 台账: 将陈述映射到证据路径与跨报告链接的结构化台账。
  • equal4 基线: 用于比较 shortcut 影响的四向等概率基线。
  • 首达时间（FPT）: 轨迹首次到达吸收目标所需的随机时间。
  • 风险率（hazard）: 在已存活到 t 的条件下，于 t 步发生首达的条件概率。
  • renormalize 机制: 注入 shortcut 后，对基准转移权重重标以保持归一化约束。
  • selfloop 机制: shortcut 概率质量从停留概率中分配，不重标其余移动概率。
  • 生存函数: 到步长 t 为止尚未首达的概率。
← 上一章返回目录下一章 →