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核心概念

第1章：FPT 核心概念

建立 f(t)、生存函数、hazard 与双峰判据的统一词汇与可操作诊断。

阅读时长 12 min 关联报告 4 交互图段 4

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章节导读

我们用互补视角解释首达分布：密度、累计生存函数、以及 hazard 转折点。

双峰不靠主观图像判断，而是依赖可回链证据的诊断标准，并在后续章节保持一致。

同一诊断语言同时用于网格和环模型，使跨模型结论可比较。

承接第0章：在符号和核验协议固定后，本章把 f(t)、S(t)、h(t) 正式建立为统一诊断语言。

叙事主线

本章首先固定模型前提：模型在反射格点中设置固定起点与两个吸收目标，并可调节目标通道耦合强度。

随后给出可复核的方法链路：流程结合精确/近似首达诊断、截断控制与双目标耦合参数扫描。

在统一判据下得到的结果与发现是：当快通道与延迟绕行通道在同一判据下都具有可观权重时，首达分布出现稳健双峰。 在无 shortcut 漂移条件下，可复现的参数窗口内可观察到稳健双峰。

从《第1章：FPT 核心概念》延续符号与已核对 claim 进入《第2章：Grid2D 家族》，在不重置假设的前提下扩展机制与证据。

概念卡片

首达时间分布

在主要报告族中反复出现的 PMF/CDF/生存函数核心量。

关联报告 26

AW 反演

从生成函数做离散 Cauchy / FFT 反演。

关联报告 11

生存函数与风险率

用于连接 f(t)、S(t) 与风险率诊断的定义。

关联报告 14

beta/shortcut 扫描

shortcut 强度变化对双峰与相图的影响。

关联报告 13

风险率解释

通过风险率动态解释峰谷结构。

关联报告 12

谱分解

基于特征值与 resolvent 的推导框架。

关联报告 3

理论链

Derivation Link grid2d_bimodality

Grid2D 双峰基线 · 推导连接

方法将无缺陷/缺陷修正传播子连接到生成函数反演，再通过参数扫描与通道诊断验证候选相区。

(gx,gy,δ)=(−0.25,0.40,0.70)(g_x,g_y,\delta)=(-0.25,0.40,0.70)

Derivation Link grid2d_bimodality

Grid2D 双峰基线 · 推导连接

方法将无缺陷/缺陷修正传播子连接到生成函数反演，再通过参数扫描与通道诊断验证候选相区。

pleft=q4(1+gx),pright=q4(1−gx),pdown=q4(1+gy),pup=q4(1−gy),pstay=1−q.\begin{aligned} p_{\text{left}} &= \frac{q}{4}(1+g_x),\quad p_{\text{right}} = \frac{q}{4}(1-g_x),\\ p_{\text{down}} &= \frac{q}{4}(1+g_y),\quad p_{\text{up}} = \frac{q}{4}(1-g_y),\\ p_{\text{stay}} &= 1-q. \end{aligned}

Distribution Setup grid2d_two_target_double_peak

Grid2D 双目标双峰 · 分布定义

定义后续诊断所依赖的首达时间概率对象。

f(t)=Pr⁡[T=t],S(t)=Pr⁡[T>t],h(t)=f(t)S(t−1)f(t)=\Pr[T=t],\quad S(t)=\Pr[T>t],\quad h(t)=\frac{f(t)}{S(t-1)}

Derivation Link ring_lazy_flux

Lazy Ring Flux 基线机制 · 推导连接

方法链路为：解析推导生成函数，使用 AW/FFT 反演得到首达 pmf，再用 flux 递推进行独立数值核验。

target=⌊N/2⌋\text{target}=\lfloor N/2\rfloor

Derivation Link ring_lazy_flux

Lazy Ring Flux 基线机制 · 推导连接

方法链路为：解析推导生成函数，使用 AW/FFT 反演得到首达 pmf，再用 flux 递推进行独立数值核验。

v=target+1v=\text{target}+1

Distribution Setup ring_two_target

双目标 Lazy Ring 机制 · 分布定义

定义后续诊断所依赖的首达时间概率对象。

f(t)=Pr⁡[T=t],S(t)=Pr⁡[T>t],h(t)=f(t)S(t−1)f(t)=\Pr[T=t],\quad S(t)=\Pr[T>t],\quad h(t)=\frac{f(t)}{S(t-1)}

交互证据面板

Grid2D 双峰基线 · scan_candidate_B_corridor [probability]

优先比较主峰与次峰的相对高度，并调节平滑窗口检验谷值是否稳定。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

l mass [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/grid2d_bimodality/artifacts/data/scan_candidate_B_corridor.json

Grid2D 双目标双峰 · method_comparison_c1 [probability]

优先比较主峰与次峰的相对高度，并调节平滑窗口检验谷值是否稳定。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

mfpt_truncation_scan_t_max mfpt_truncation_scan_mass_any [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/data/method_comparison_c1.json

Lazy Ring Flux 基线机制 · lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn [tabular metric]

切换曲线并微调平滑窗口，观察参数变化如何重排快通道与延迟通道贡献。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

N v [metric]

加载图表数据中…

来源: research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

双目标 Lazy Ring 机制 · small_scan_metrics [probability]

优先比较主峰与次峰的相对高度，并调节平滑窗口检验谷值是否稳定。

交互数据面板

图表控制
窗口=1

beta q [probability]

加载图表数据中…

来源: research/reports/ring_two_target/artifacts/data/small_scan_metrics.csv

证据链路

本章按统一叙事组织；底层报告仅作为可核对的证据节点保留。

展开证据节点索引
  • Grid2D 双峰基线 (当快通道与延迟绕行通道在同一判据下都具有可观权重时，首达分布出现稳健双峰。)
  • Grid2D 双目标双峰 (当近目标直达通道与远目标延迟通道都占有显著质量时，会出现稳定双峰；其相界随耦合强度呈可预测移动。)
  • Lazy Ring Flux 基线机制 (自环分流且小 p 条件下可形成稳定双峰（最小 N=10 例）；equal4 或 shortcut 强度增大时，分布向单峰收敛。)
  • 双目标 Lazy Ring 机制 (无 shortcut 漂移本身即可产生稳定双峰；加入 shortcut 后路径质量重新分配，在特定几何与参数带可出现三峰行为。)

Claim 台账

result grid2d_bimodality-c3 grid2d_bimodality

当快通道与延迟绕行通道在同一判据下都具有可观权重时，首达分布出现稳健双峰。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    当快通道与延迟绕行通道在同一判据下都具有可观权重时，首达分布出现稳健双峰。

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    候选 A （周期边界 + 全局偏置）：FPT 在统一双峰判据下呈现双峰；快/慢通道由 "逆漂移短路" 与 "顺漂移绕行" 叠加产生；AW 反演与 exact recursion 在 内一致，MC 叠加吻合（图 、 ）

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    三类候选的核心参数。候选 B 采用贴边走廊与自动调参（此表给出最终采用的 g x,g y ）；候选 C 采用 door + sticky，并保留 wrap-around 通道。

  • math_block research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    结论与关键图示

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_bimodality/series/scan_candidate_b_corridor-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

model grid2d_two_target_double_peak-c1 grid2d_two_target_double_peak

模型在反射格点中设置固定起点与两个吸收目标，并可调节目标通道耦合强度。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    模型在反射格点中设置固定起点与两个吸收目标，并可调节目标通道耦合强度。

  • section_summary research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    Grid2D 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

model ring_lazy_flux-c1 ring_lazy_flux

模型为 lazy 最近邻环并加入单向 shortcut u->v；在非 shortcut 源点处，停留/左右迁移遵循等概率基线。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    模型为 lazy 最近邻环并加入单向 shortcut u->v；在非 shortcut 源点处，停留/左右迁移遵循等概率基线。

  • section_summary research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

finding ring_two_target-c5 ring_two_target

在无 shortcut 漂移条件下，可复现的参数窗口内可观察到稳健双峰。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_two_target/artifacts/tables/case_configs.tex

    在无 shortcut 漂移条件下，可复现的参数窗口内可观察到稳健双峰。

  • section_summary research/reports/ring_two_target/artifacts/tables/case_configs.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_two_target/artifacts/tables/case_configs.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/ring_two_target/series/small_scan_metrics-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

method grid2d_two_target_double_peak-c2 grid2d_two_target_double_peak

流程结合精确/近似首达诊断、截断控制与双目标耦合参数扫描。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    流程结合精确/近似首达诊断、截断控制与双目标耦合参数扫描。

  • section_summary research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    Grid2D 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_two_target_double_peak/series/method_comparison_c1-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

method ring_lazy_flux-c2 ring_lazy_flux

方法链路为：解析推导生成函数，使用 AW/FFT 反演得到首达 pmf，再用 flux 递推进行独立数值核验。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    方法链路为：解析推导生成函数，使用 AW/FFT 反演得到首达 pmf，再用 flux 递推进行独立数值核验。

  • section_summary research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/ring_lazy_flux/series/lazy_k2_equal4_paper_geometry_summary_cn-binary.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

result ring_lazy_flux-c3 ring_lazy_flux

自环分流且小 p 条件下可形成稳定双峰（最小 N=10 例）；equal4 或 shortcut 强度增大时，分布向单峰收敛。

展开证据链接
  • source_document research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    自环分流且小 p 条件下可形成稳定双峰（最小 N=10 例）；equal4 或 shortcut 强度增大时，分布向单峰收敛。

  • section_summary research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    Ring 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/ring_lazy_flux/artifacts/tables/lazy_K2_equal4_paper_geometry_summary_cn.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/ring_lazy_flux/series/lazy_k2_equal4_paper_geometry_summary_cn-binary.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

result grid2d_two_target_double_peak-c3 grid2d_two_target_double_peak

当近目标直达通道与远目标延迟通道都占有显著质量时，会出现稳定双峰；其相界随耦合强度呈可预测移动。

展开证据链接
  • source_document research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    当近目标直达通道与远目标延迟通道都占有显著质量时，会出现稳定双峰；其相界随耦合强度呈可预测移动。

  • section_summary research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    Grid2D 体系：本节整理关键证据、图表说明与复现路径。

  • math_block research/reports/grid2d_two_target_double_peak/artifacts/tables/case_mechanism.tex

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_two_target_double_peak/series/method_comparison_c1-probability.json

    该证据片段以英文记录，请结合路径在源文档核对。

章节总结

建立 f(t)、生存函数、hazard 与双峰判据的统一词汇与可操作诊断。

展开章节术语链接
  • AW 反演: 从生成函数到时域首达量的离散 Cauchy/FFT 反演过程。
  • beta 扫描: 对 shortcut 强度 β 的参数扫描，用于识别相位转折与分区边界。
  • 双峰判据: 区分真实双峰与噪声肩部的可操作判据。
  • Claim 台账: 将陈述映射到证据路径与跨报告链接的结构化台账。
  • equal4 基线: 用于比较 shortcut 影响的四向等概率基线。
  • 首达时间（FPT）: 轨迹首次到达吸收目标所需的随机时间。
  • 风险率（hazard）: 在已存活到 t 的条件下，于 t 步发生首达的条件概率。
  • renormalize 机制: 注入 shortcut 后，对基准转移权重重标以保持归一化约束。
  • selfloop 机制: shortcut 概率质量从停留概率中分配，不重标其余移动概率。
  • 生存函数: 到步长 t 为止尚未首达的概率。
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