valley-k-small
grid2d_bimodality

Grid2D 双峰基线

该基础 Grid2D 报告建立了偏置/惰性随机游走下首达双峰形成的统一框架。报告把模型约束、缺陷修正传播子、AW 反演与参数扫描串成可审计链路,用于区分真实双通道机制与绘图伪峰。

更新: 2026年6月9日 21:57:41 UTC

模型

模型为二维 N×N 格点 + 吸收目标,包含各向异性漂移控制与惰性停留概率,并显式给出边界条件。

方法

方法将无缺陷/缺陷修正传播子连接到生成函数反演,再通过参数扫描与通道诊断验证候选相区。

结论

当快通道与延迟绕行通道在同一判据下都具有可观权重时,首达分布出现稳健双峰。

书籍定位

该报告已纳入章节化主线。建议通过章节链接保持连续阅读,而不是把报告孤立阅读。

主章节 第0章:阅读方法与符号

同时出现于 chapter-0-reading-guidechapter-1-core-fptchapter-2-grid2d-familychapter-6-repro-validation

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阅读路径

  1. 先看关键结论,确认这份报告是否与你当前问题匹配。
  2. 进入交互图面板,快速验证参数与形状敏感性。
  3. 再阅读数学逻辑链与公式库,把结论连到推导细节。

关键结论

关联报告链

该报告位于同一研究链中,可通过下方链接跳转到上游/下游和跨模型家族的关联报告。

叙事弧线定位

该报告处于一个或多个全局叙事弧线中,可按检查点保持跨页面阅读连续性。

grid2d 研究推进链

grid2d 轨道把 13 份报告串成连续论证。

检查点: 13 Claim 数: 63

展开弧线序列
  1. Grid2D 双峰基线
  2. Grid2D 全反射边界双峰
  3. Grid2D 黑板端点构型
  4. Grid2D 双目标双峰
  5. Grid2D 体系:grid2d_two_walker_encounter_shortcut 研究报告
  6. Grid2D 矩形域双峰
  7. Grid2D 体系:grid2d_membrane_near_target 研究报告
  8. Grid2D 体系:grid2d_one_target_base 研究报告
  9. Grid2D 体系:grid2d_one_target_exit_timing 研究报告
  10. Grid2D 体系:grid2d_one_target_valley_peak_budget 研究报告
  11. Grid2D 体系:grid2d_one_target_window_measures 研究报告
  12. Grid2D 体系:grid2d_one_two_target_gating 研究报告
  13. Grid2D 体系:grid2d_two_target_bias_radius 研究报告

二维与环模型机制最终汇入跨报告综合结论。

连接全部报告家族的全局叙事主线,从机制到综合结论。

检查点: 27 Claim 数: 130

展开弧线序列
  1. Lazy Ring Jump-Over 机制(K2 对 K4)
  2. Lazy Ring Shortcut beta 扫描
  3. Lazy Ring Shortcut 图1修订
  4. Lazy Ring Flux 基线机制
  5. Ring Valley 相区研究
  6. 目的地扫描与谷值调控(N=100, K=6)
  7. Ring 推导主干(K=2)
  8. 双目标 Lazy Ring 机制
  9. Ring 体系:ring_two_walker_encounter_shortcut 研究报告
  10. Grid2D 双峰基线
  11. Grid2D 全反射边界双峰
  12. Grid2D 黑板端点构型
  13. Grid2D 双目标双峰
  14. Grid2D 体系:grid2d_two_walker_encounter_shortcut 研究报告
  15. Grid2D 矩形域双峰
  16. Grid2D 体系:grid2d_membrane_near_target 研究报告
  17. Grid2D 体系:grid2d_one_target_base 研究报告
  18. Grid2D 体系:grid2d_one_target_exit_timing 研究报告
  19. Grid2D 体系:grid2d_one_target_valley_peak_budget 研究报告
  20. Grid2D 体系:grid2d_one_target_window_measures 研究报告
  21. Grid2D 体系:grid2d_one_two_target_gating 研究报告
  22. Grid2D 体系:grid2d_two_target_bias_radius 研究报告
  23. 跨模型 Luca 相区图
  24. 该研究报告:final_multitimescale_fpt_encounter 研究报告
  25. 该研究报告:exact_recursion_method_guide 研究报告
  26. 该研究报告:encounter_reflecting_diagonal_decomp 研究报告
  27. 该研究报告:encounter_reflecting_mean_validation 研究报告

可核对 Claim

下列 claim 都绑定了证据路径,便于逐条审计核对。

报告目标

当快通道与延迟绕行通道在同一判据下都具有可观权重时,首达分布出现稳健双峰。

核对步骤
  1. 先读关键 claim 及其证据引用。
  2. 至少核对一条公式卡与一个数据面板的来源路径。
  3. 再与上游/下游关联报告做交叉核对。

模型

model grid2d_bimodality-c1

模型为二维 N×N 格点 + 吸收目标,包含各向异性漂移控制与惰性停留概率,并显式给出边界条件。

证据链
  • source_document research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    模型为二维 N×N 格点 + 吸收目标,包含各向异性漂移控制与惰性停留概率,并显式给出边界条件。

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    本文采用 " y 轴向下为正" 的坐标约定,因此 g y>0 表示向下偏置。边界条件支持反射、周期或混合( x 周期、 y 反射)

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    reflecting 更贴近有限容器或围墙区域的扩散/搜索问题:概率守恒且不会“漏出系统”。 periodic 对应拓扑上环/环面或均匀介质的平铺近似,现实中并不常见,但可自然引入绕行慢通道,便于产生时间尺度分离(候选 A)。

  • math_block research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    结论与关键图示

关联报告 Grid2D 双目标双峰双目标 Lazy Ring 机制Grid2D 矩形域双峰Grid2D 全反射边界双峰

方法

method grid2d_bimodality-c2

方法将无缺陷/缺陷修正传播子连接到生成函数反演,再通过参数扫描与通道诊断验证候选相区。

证据链
  • source_document research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    方法将无缺陷/缺陷修正传播子连接到生成函数反演,再通过参数扫描与通道诊断验证候选相区。

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    本节给出统一推导链条: 无缺陷 propagator -> 有缺陷 propagator -> FPT 生成函数 -> AW 反演。三类候选均可落在同一框架内。 矩阵形式与生成函数 设无吸收系统的转移矩阵为 A,约定 A v,u =,因此列和为 1,且 p t+1 =A p t

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    reflecting 更贴近有限容器或围墙区域的扩散/搜索问题:概率守恒且不会“漏出系统”。 periodic 对应拓扑上环/环面或均匀介质的平铺近似,现实中并不常见,但可自然引入绕行慢通道,便于产生时间尺度分离(候选 A)。

  • math_block research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    结论与关键图示

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_bimodality/series/scan_candidate_b_corridor-probability.json

    scan_candidate_B_corridor [probability]: l -> mass [probability]

关联报告 双目标 Lazy Ring 机制Ring 推导主干(K=2)Grid2D 黑板端点构型Grid2D 矩形域双峰

结果

result grid2d_bimodality-c3

当快通道与延迟绕行通道在同一判据下都具有可观权重时,首达分布出现稳健双峰。

证据链
  • source_document research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    当快通道与延迟绕行通道在同一判据下都具有可观权重时,首达分布出现稳健双峰。

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    候选 A (周期边界 + 全局偏置):FPT 在统一双峰判据下呈现双峰;快/慢通道由 "逆漂移短路" 与 "顺漂移绕行" 叠加产生;AW 反演与 exact recursion 在 内一致,MC 叠加吻合(图 、 )

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    三类候选的核心参数。候选 B 采用贴边走廊与自动调参(此表给出最终采用的 g x,g y );候选 C 采用 door + sticky,并保留 wrap-around 通道。

  • math_block research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    结论与关键图示

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_bimodality/series/scan_candidate_b_corridor-probability.json

    scan_candidate_B_corridor [probability]: l -> mass [probability]

关联报告 Grid2D 双目标双峰Grid2D 矩形域双峰Lazy Ring Jump-Over 机制(K2 对 K4)Grid2D 黑板端点构型

关键结论

finding grid2d_bimodality-c4

统一 FPT 判据可稳定区分结构性双峰与数值/可视化伪峰。

证据链
  • source_document research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    统一 FPT 判据可稳定区分结构性双峰与数值/可视化伪峰。

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    候选 A (周期边界 + 全局偏置):FPT 在统一双峰判据下呈现双峰;快/慢通道由 "逆漂移短路" 与 "顺漂移绕行" 叠加产生;AW 反演与 exact recursion 在 内一致,MC 叠加吻合(图 、 )

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    本节给出统一推导链条: 无缺陷 propagator -> 有缺陷 propagator -> FPT 生成函数 -> AW 反演。三类候选均可落在同一框架内。 矩阵形式与生成函数 设无吸收系统的转移矩阵为 A,约定 A v,u =,因此列和为 1,且 p t+1 =A p t

  • math_block research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    结论与关键图示

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_bimodality/series/scan_candidate_b_corridor-probability.json

    scan_candidate_B_corridor [probability]: l -> mass [probability]

关联报告 双目标 Lazy Ring 机制跨模型 Luca 相区图该研究报告:final_multitimescale_fpt_encounter 研究报告Grid2D 黑板端点构型

finding grid2d_bimodality-c5

走廊与偏置参数可在不改目标定义的前提下放大延迟通道贡献。

证据链
  • source_document research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    走廊与偏置参数可在不改目标定义的前提下放大延迟通道贡献。

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    候选 A (周期边界 + 全局偏置):FPT 在统一双峰判据下呈现双峰;快/慢通道由 "逆漂移短路" 与 "顺漂移绕行" 叠加产生;AW 反演与 exact recursion 在 内一致,MC 叠加吻合(图 、 )

  • section_summary research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    图 给出统一符号语法:红色方块为起点、蓝色菱形为目标;粗实线为反射墙、虚线为门(标注 p pass )、半透明阴影为 sticky 区;红色小箭头为 local bias;图外大箭头给出全局偏置方向与 (g x,g y) 数值。为便于阅读,将环境示意、 P(n,t) 切片、FPT 多尺度图与通道分解分别独立成图,避免子图拥挤

  • math_block research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

    结论与关键图示

  • dataset /data/v1/reports/grid2d_bimodality/series/scan_candidate_b_corridor-probability.json

    scan_candidate_B_corridor [probability]: l -> mass [probability]

关联报告 Grid2D 矩形域双峰双目标 Lazy Ring 机制Grid2D 体系:grid2d_membrane_near_target 研究报告

交互数据面板

图表控制
窗口=1

hv_over_max h1, h2, h2_over_h1

加载图表数据中…

来源: research/reports/grid2d_bimodality/artifacts/data/scan_candidate_C_bias.json

数学逻辑链

从模型假设到解释结论,按步骤给出最短逻辑链。

推导连接

补充连接推导相邻步骤的关系式。

(gx,gy,δ)=(−0.25,0.40,0.70)(g_x,g_y,\delta)=(-0.25,0.40,0.70)

结论与关键图示

推导连接

补充连接推导相邻步骤的关系式。

pleft=q4(1+gx),pright=q4(1−gx),pdown=q4(1+gy),pup=q4(1−gy),pstay=1−q.\begin{aligned} p_{\text{left}} &= \frac{q}{4}(1+g_x),\quad p_{\text{right}} = \frac{q}{4}(1-g_x),\\ p_{\text{down}} &= \frac{q}{4}(1+g_y),\quad p_{\text{up}} = \frac{q}{4}(1-g_y),\\ p_{\text{stay}} &= 1-q. \end{aligned}

模型定义与坐标约定

推导连接

补充连接推导相邻步骤的关系式。

Δ=δpstay\Delta=\delta p_{\text{stay}}

模型定义与坐标约定

推导连接

补充连接推导相邻步骤的关系式。

qsite=factor⋅qq_{\text{site}}=\text{factor}\cdot q

模型定义与坐标约定

分布定义

定义后续诊断所依赖的首达时间概率对象。

Av,u=Pr⁡(u→v)A_{v,u}=\Pr(u\to v)

解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT

推导连接

补充连接推导相邻步骤的关系式。

pt+1=Apt\mathbf{p}_{t+1}=A\mathbf{p}_t

解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT

数学原理

当前展示 6 / 14

结论与关键图示 CN

(gx,gy,δ)=(−0.25,0.40,0.70)(g_x,g_y,\delta)=(-0.25,0.40,0.70)
公式来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

模型定义与坐标约定 CN

pleft=q4(1+gx),pright=q4(1−gx),pdown=q4(1+gy),pup=q4(1−gy),pstay=1−q.\begin{aligned} p_{\text{left}} &= \frac{q}{4}(1+g_x),\quad p_{\text{right}} = \frac{q}{4}(1-g_x),\\ p_{\text{down}} &= \frac{q}{4}(1+g_y),\quad p_{\text{up}} = \frac{q}{4}(1-g_y),\\ p_{\text{stay}} &= 1-q. \end{aligned}
公式来源

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模型定义与坐标约定 CN

Δ=δpstay\Delta=\delta p_{\text{stay}}
公式来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

模型定义与坐标约定 CN

qsite=factor⋅qq_{\text{site}}=\text{factor}\cdot q
公式来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

Av,u=Pr⁡(u→v)A_{v,u}=\Pr(u\to v)
公式来源

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解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

pt+1=Apt\mathbf{p}_{t+1}=A\mathbf{p}_t
公式来源

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展开剩余公式

解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

Pn0(n,t)=en⊤Aten0,P~(z)=∑t≥0Atzt=(I−zA)−1,P_{n_0}(n,t)=\mathbf{e}_n^\top A^t \mathbf{e}_{n_0}, \qquad \tilde{\mathbf{P}}(z)=\sum_{t\ge 0} A^t z^t=(I-zA)^{-1},
公式来源

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解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

P~n0(n,z)=en⊤(I−zA)−1en0.\tilde P_{n_0}(n,z)=\mathbf{e}_n^\top (I-zA)^{-1}\mathbf{e}_{n_0}.
公式来源

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解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

sk(γ)=q (λk(γ)−1),Λk1,k2=1+sk1(γx)+sk2(γy)2.s_k^{(\gamma)} = q\,\bigl(\lambda_k^{(\gamma)}-1\bigr),\qquad \Lambda_{k_1,k_2}=1+\frac{s_{k_1}^{(\gamma_x)}+s_{k_2}^{(\gamma_y)}}{2}.
公式来源

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解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

Pn0(γ)(n,t)=∑k1∑k2hk1(γx)(x,x0) hk2(γy)(y,y0) Λk1,k2t.P^{(\gamma)}_{n_0}(n,t)=\sum_{k_1}\sum_{k_2} h_{k_1}^{(\gamma_x)}(x,x_0)\,h_{k_2}^{(\gamma_y)}(y,y_0)\,\Lambda_{k_1,k_2}^t.
公式来源

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解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

P~n0(γ)(n,z)=∑k1∑k2hk1(γx)(x,x0) hk2(γy)(y,y0)1−zΛk1,k2.\tilde P^{(\gamma)}_{n_0}(n,z)=\sum_{k_1}\sum_{k_2} \frac{h_{k_1}^{(\gamma_x)}(x,x_0)\,h_{k_2}^{(\gamma_y)}(y,y_0)}{1-z\Lambda_{k_1,k_2}}.
公式来源

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解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

θk=2πkN,λk(per)=1+g2e−iθk+1−g2eiθk,hk(per)(x,x0)=1Neiθk(x−x0).\theta_k=\frac{2\pi k}{N},\quad \lambda_k^{(\text{per})}=\frac{1+g}{2}e^{-i\theta_k}+\frac{1-g}{2}e^{i\theta_k},\quad h_k^{(\text{per})}(x,x_0)=\frac{1}{N}e^{i\theta_k(x-x_0)}.
公式来源

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解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

pℓ=(1+g)/2,  pr=(1−g)/2,  ρ=pr/pℓp_\ell=(1+g)/2,\;p_r=(1-g)/2,\;\rho=p_r/p_\ell
公式来源

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解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT CN

λ0(ref)=1,λk(ref)=2pℓprcos⁡kπN (k≥1),hk(ref)(x,x0)=uk(x)uk(x0)πxπx0,\lambda_0^{(\text{ref})}=1,\quad \lambda_k^{(\text{ref})}=2\sqrt{p_\ell p_r}\cos\frac{k\pi}{N}\ (k\ge 1),\quad h_k^{(\text{ref})}(x,x_0)=u_k(x)u_k(x_0)\sqrt{\frac{\pi_x}{\pi_{x_0}}},
公式来源

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叙事章节

优先展示清洗后的章节摘要,低信息量占位段落已隐藏。

三类构造与机制

下文分别给出三类候选配置的构造、机制解释与数值验证结果(将环境示意、FPT 多尺度与通道分解等分开成图,避免子图拥挤)。 候选 A:周期边界 + 全局偏置 机制对应 PhysRevE 102, 062124 中 "periodic + bias" 的双峰讨论。快通道为逆漂移短路,慢通道为顺漂移绕行。

来源

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与参考文献的对应

PhysRevE 102, 062124:周期边界 + bias 会出现双峰(1D 明确论述),对应候选 A 与候选 C 的 wrap-around 通道。 arXiv:2311.00464v2 Fig.3:局部 bias、permeable barrier 与 sticky 的构造规则(20 % stay, 80/20 door, sticky factor 0.2)作为候选 B/C 的实现参考。

来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

参数表

三类候选的核心参数。候选 B 采用贴边走廊与自动调参(此表给出最终采用的 g x,g y );候选 C 采用 door + sticky,并保留 wrap-around 通道。

来源

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图形阅读指南

图 给出统一符号语法:红色方块为起点、蓝色菱形为目标;粗实线为反射墙、虚线为门(标注 p pass )、半透明阴影为 sticky 区;红色小箭头为 local bias;图外大箭头给出全局偏置方向与 (g x,g y) 数值。为便于阅读,将环境示意、 P(n,t) 切片、FPT 多尺度图与通道分解分别独立成图,避免子图拥挤;候选 B 另给出峰谷放大图以强调早峰与 valley。

来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

数值基线:Exact/flux 递推与 MC

Exact 递推在 transient 空间计算 f(t)=r^->p Q^ t-1 p 0 (式 eq:exact-recursion ),作为确定性基准,并与 AW 反演及 MC 直方图叠加对比(图 -- )。MC 轨迹同时按 "快/慢通道" 分类,以解释双峰来源。 峰谷指标定义 对平滑后的 f(t),取两个局部主峰位置 t_p1,t_p2 及其间最小值 t v,并定义 h 1=f, h 2=f, peak ratio =((h 1,h 2))/((h 1,h 2)), valley ratio =(f(t v))/((h 1,h 2)).

来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

模型定义与坐标约定

本文采用 " y 轴向下为正" 的坐标约定,因此 g y>0 表示向下偏置。边界条件支持反射、周期或混合( x 周期、 y 反射)

来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

显示更多章节

直观机制图解:两通道混合 + 时间尺度分离

候选 A (周期边界 + 全局偏置):FPT 在统一双峰判据下呈现双峰;快/慢通道由 "逆漂移短路" 与 "顺漂移绕行" 叠加产生;AW 反演与 exact recursion 在 t 内一致,MC 叠加吻合(图 、 )。 候选 B (贴边走廊 + 混合边界):自动调参得到 (g x,g y,)=(-0.25,0.40,0.70),并采用 x 周期边界引入绕行慢通道,使 fast 权重进入可视化可辨区间;峰谷放大图中双峰清晰可见(图 )。

来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

结论与关键图示

候选 A (周期边界 + 全局偏置):FPT 在统一双峰判据下呈现双峰;快/慢通道由 "逆漂移短路" 与 "顺漂移绕行" 叠加产生;AW 反演与 exact recursion 在 内一致,MC 叠加吻合(图 、 )。 候选 B (贴边走廊 + 混合边界):自动调参得到 (g x,g y,)=(-0.25,0.40,0.70),并采用 x 周期边界引入绕行慢通道,使 fast 权重进入可视化可辨区间;峰谷放大图中双峰清晰可见(图 )。

来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

解析推导:从无缺陷 propagator 到时域 FPT

本节给出统一推导链条: 无缺陷 propagator -> 有缺陷 propagator -> FPT 生成函数 -> AW 反演。三类候选均可落在同一框架内。 矩阵形式与生成函数 设无吸收系统的转移矩阵为 A,约定 A v,u =,因此列和为 1,且 p t+1 =A p t。传播子满足 P n0 (n,t)= e n^->p A^t e n0, P (z)= t0 A^t z^, 从而 P n0 (n,z)= e n^->p (I-zA)e-1 e n0.

来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

边界条件的物理含义与保留价值

reflecting 更贴近有限容器或围墙区域的扩散/搜索问题:概率守恒且不会“漏出系统”。 periodic 对应拓扑上环/环面或均匀介质的平铺近似,现实中并不常见,但可自然引入绕行慢通道,便于产生时间尺度分离(候选 A)。

来源

research/reports/grid2d_bimodality/manuscript/grid2d_bimodality_cn.tex

复现实验命令

展开命令列表
  • python3 scripts/reportctl.py run --report grid2d_bimodality -- python3 code/bimodality_2d_pipeline.py
  • python3 scripts/reportctl.py build --report grid2d_bimodality --lang cn
  • python3 scripts/reportctl.py translation-qc
  • python3 scripts/reportctl.py web-build --mode changed --skip-npm-ci

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